Logarithmus

Standardmäßig wird die ganzzahlige Exponentiation definiert als $a^n = \underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{n\times}$, bzw. rekursiv als $a^n = \left\{\begin{array}{cl} a & \mbox{ für } n=1 \\ a\cdot a^{n-1} & \mbox{ für } n>1\end{array}\right.$

Die $n$-te Wurzel $\sqrt[n]{a}$ wird definiert als die positive Lösung der Gleichung $x^n=a$.

Negative Exponenten

Man sieht schnell, dass für alle $m>n>1$ gilt $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$. Es stellt sich heraus, dass man dies in konsistenter Weise auch für $n\ge m$ so definieren kann. Damit wird $a^0=1$ und $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Man überprüft leicht, dass die bekannten Potenzgesetze immernoch gelten. Eine "Grauzone" ist aber zum Beispiel, was $0^0$ ist.

Rationale Exponenten

Ebenfalls stellt man schnell fest, dass für $n\mid m$ gilt $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Auch dies kann man in konsistenter Weise als Definition für generelle rationale Exponenten nutzen: Jede rationale Zahl lässt sich darstellen als Bruch $\frac{p}{q}$, und man definiert $a^{\frac{p}{q}} := \sqrt[q]{a^p}$.

Auch hier kann man schnell überprüfen, dass die Potenzgesetze noch gelten.

Reelle Exponenten

Für allgemeine reelle Exponenten bräuchte die saubere Definition etwas mehr mathematisches Werkzeug, wir begnügen uns hier mit intuitivem Verständnis.

Für positives $a$ ist die Funktion $x\mapsto a^x$ streng monoton steigend, das heißt, $x < y$ impliziert $a^x < a^y$. Wenn wir nun $a^r$ für ein irrationales $r$ berechnen wollen, so stellen wir fest, dass wir rationale Zahlen $k, l$ mit $k<r<l$ finden, die beliebig nah an $r$ herankommen, das heißt, $|l-k|$ wird beliebig klein. Wegen der Monotonizität wird dann aber $|a^l-a^k|$ ebenfalls beliebig klein, und $a^l$ bzw. $a^k$ nähern sich beliebig genau einer bestimmten reellen Zahl. Wir definieren $a^r$ einfach als diese Zahl.

Wir können auf diese Weise beliebig genaue Näherungen von $a^r$ berechnen.

Logarithmus

Gegeben sei die Gleichung $a^b=c$. Haben wir $a$ und $b$ gegeben, können wir $c$ leicht ausrechnen. Haben wir umgekehrt $b$ und $c$ gegeben, ist $a=c^{\frac{1}{b}}$ ebenfalls leicht auszurechnen. Was wir noch nicht können, ist, auszurechnen, was $b$ sein muss, wenn wir $a$ und $c$ gegeben haben. Dieses $b$ nennt man den Logarithmus zur Basis $a$ von $c$, und schreibt $\log_a c$.

Logarithmen haben einige schöne Eigenschaften.

Zunächst ist $\log_a (b\cdot c) = \log_a b + \log_a c$. Das sieht man leicht, indem man sich überlegt, dass wenn $a^x=b$ und $a^y=c$ ist, dann $a^{x+y}=a^x\cdot a^y = b\cdot c$. Auf diesem Prinzip basieren Rechenschieber.

Weiterhin ist $\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}$. Denn ist $b^y=x$, und $a^z=b$, so ist $(a^z)^y=a^{zy}=x$, also $\log_a x=zy = \log_a b \cdot \log_b x$.

Logarithmen sind also proportional zueinander. Deshalb haben die meisten Taschenrechner keine zweistellige Logarithmusfunktion, sondern nur $\ln = \log_e$, den natürlichen Logarithmus, zur Basis $e$, der Euler'schen Zahl, die rund $2,718281828$ ist. Die genaue Bedeutung der Zahl $e$ ist für den Kurs nicht wichtig. Oft schreibt man auch einfach nur $\log x$, je nach dem meint man damit den natürlichen Logarithmus, manchmal auch den Logarithmus zur Basis 10. Wir verwenden Logarithmen im Kurs hauptsächlich zur Beschreibung von Komplexitätsklassen, bei denen es auf lineare Faktoren nicht ankommt. Wenn wir im Kurs $\log x$ schreiben, ist die Basis entsprechend nicht relevant.

$\lceil\log_{10} a\rceil$ gibt an, wie viele Dezimalstellen $a$ vor dem Komma hat. Analog gibt $\lceil\log_2 a\rceil$ an, wie viele Binärstellen $a$ hat.

Ausblick: Komplexe Exponenten

Auch wenn wir das im Kurs nicht brauchen, sei hier ein Ausblick auf komplexe Exponenten gegeben. Die Euler'sche Zahl $e$ ist definiert als

$\begin{align}e &= 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \dotsb \\ &= \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dotsb \\ &= \sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}} \\ \end{align}$

Man kann zeigen, dass

$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ für $x\in\mathbb{R}$, wobei man in diesem Fall $0^0=1$ setzt. Setzt man hier nun eine imaginäre Zahl $i\varphi$ ein, so erhält man

$\begin{align} e^{i\varphi}& \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\varphi)^k}{k!} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\varphi)^{2k}}{(2k)!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(i\varphi)^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \varphi^{2k}}{(2k)!} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{i(-1)^k\varphi^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k \varphi^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k\varphi^{2k+1}}{(2k+1)!} \\ &= \cos \varphi + i\cdot \sin \varphi \end{align}$

Insbesondere ist also $e^{i\pi} + 1 = 0$ (bekannte Formel).

Um nun von $e^{i\varphi}$ zu beliebigem $a^{i\varphi}$ zu kommen, können wir wiederum den Logarithmus verwenden: $a^{i\varphi} = (e^{\log_e a})^{i\varphi} = e^{i\varphi\log_e a}$. Und für komplexe Exponenten dann $a^{x+iy} = a^x\cdot a^{iy}$.