Logische Theorien

Wir definieren zunächst, was eine Theorie ist. Gegeben sind zunächst die logischen Zeichen $\wedge$, welches für das logische "und" steht, $\vee$, welches für das logische "oder" steht, $\rightarrow$, welches für logische Implikation steht, $\bot$, welches für die immer falsche Aussage, das Falsum, steht, $\forall$, der Allquantor, $\exists$, der Existenzquantor.

Außerdem gegeben seien unendlich viele $n$-stellige Relationssymbole $R_0^n, R_1^n, R_2^n, \ldots$, unendlich viele $n$-stellige Funktionssymbole $f_0^n, f_1^n, f_2^n, \ldots$, und unendlich viele Variablensymbole $x_0, x_1, x_2, \ldots$.

Wir arbeiten nun mit dem Alphabet das all diese Symbole enthält, also einem unendlichen Alphabet, in diesem Fall. Nun wollen wir die Sprache der korrekt geformten Aussagen der Logik 1. Stufe definieren. Zunächst definieren wir die Sprache $\operatorname{Ter}$ der Terme:

• Alle Variablensymbole sind Terme: für alle $i$ ist $x_i \in \operatorname{Ter}$.
• Sind $t_1, \ldots, t_k\in\operatorname{Ter}$, so ist für alle $i$ auch $f_i^k(t_1,\ldots,t_k)\in\operatorname{Ter}$, das heißt, man darf einem Funktionssymbol so viele Terme übergeben, wie es Stellen hat.