Logarithmus

Standardmäßig wird die ganzzahlige Exponentiation definiert als $a^n = \underbrace{a\cdot\ldots\cdot a}_{n\times}$, bzw. rekursiv als $a^n = \left\{\begin{array}{cl} a & \mbox{ für } n=1 \\ a\cdot a^{n-1} & \mbox{ für } n>1\end{array}\right.$

Die $n$-te Wurzel $\sqrt[n]{a}$ wird definiert als die positive Lösung der Gleichung $x^n=a$.

Negative Exponenten

Man sieht schnell, dass für alle $m>n>1$ gilt $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$. Es stellt sich heraus, dass man dies in konsistenter Weise auch für $n\ge m$ so definieren kann. Damit wird $a^0=1$ und $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Man überprüft leicht, dass die bekannten Potenzgesetze immernoch gelten. Eine "Grauzone" ist aber zum Beispiel, was $0^0$ ist.

Rationale Exponenten

Ebenfalls stellt man schnell fest, dass für $n\mid m$ gilt $\sqrt{n}{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Auch dies kann man in konsistenter Weise als Definition für generelle rationale Exponenten nutzen: Jede rationale Zahl lässt sich darstellen als Bruch $\frac{p}{q}$, und man definiert $a^{\frac{p}{q}} := \sqrt[q]{a^p}$.

Auch hier kann man schnell überprüfen, dass die Potenzgesetze noch gelten.